第三节 词项的外延间关系
自然界中的事物或现象之间彼此相关。例如，梨和苹果属于水果，闪电和冰雹属于自然现象，火车、有轨电车、无轨电车、飞机是不同的交通工具。普通逻辑不考察词项的内涵即概念之间的具体关系，而是考察词项的外延之间关系。根据两词项外延有无重合的部分，可把词项的外延间关系分为相容的关系和不相容的关系两种。
第四节 词项的限制和概括
一、内涵和外延之间的反变关系
凡是有真包含关系或真包含于关系的两个词项，我们说它们具有属种关系。这样的两个词项，它们的外延和内涵具有反变关系。即：一个词项的外延愈大，则它的内涵愈少；一个词项的外延愈小，则它的内涵愈多。反之，一个词项的内涵愈少，则它的外延愈大；一个词项的内涵愈多，则它的外延愈小。例如，“科学”与“自然科学”这是两个具有属种关系的词项，前者的内涵少于后者，而它的外延则要大于后者。这种反变关系不是严格的数量关系，而是反映一种相反变化的趋势。
根据这一反变关系，就能懂得如何缩小、扩大词项的外延，使之形成一个新的词项。这就是词项的限制和概括。
二、词项的限制
词项的限制，就是指通过增加词项的内涵、以缩小词项的外延来明确词项的逻辑方法。
词项的限制，在语言上通常表现为增加修饰语。比如，据说有位女演员曾经发过这样一番感慨：做人难，做女人更难，做名女人尤其难，做单身的名女人难上难。这句话，从“人”到“女人”到“名女人”再到“单身的名女人”，通过逐渐增加的修饰语对原词项一步一步加以限制，形成了新的词项。
不过，也有不通过增加修饰语，而是直接换语词进行限制的。例如，傅雷给傅聪的临别赠言是：第一，做人：第二，做艺术家；第三，做音乐家；最后才是钢琴家。这里的连续限制过程是：人→艺术家→音乐家→钢琴家。经过限制，我们得到了以原来的词项为属词项的种词项。
外延大的词项可以连续多次进行限制，但限制是有极限的，这个极限就是单独词项，因为单独词项的外延只有一个。比如，把“钢琴家”限制为“傅聪”就不能再限制了。
有时候我们写文章时不注意修饰语的合理使用，就会出现一些对词项的不合理的限制，比如：
“据英国《自然》杂志报道，一个英国天文学家小组发现了宇宙中最亮的一个天体。据称，这个天体也是宇宙中最遥远的天体之一。”
宇宙是无限的，现在发现是最亮的，未必就是整个宇宙中最亮的。可惜，上例在传播科学信息的同时，却又不自觉地违反了科学。如果学会明确词项的逻辑方法，则可以避免此类错误。如将外延过大的词项“发现宇宙中最亮的一个天体”限制为“迄今为止所发现的宇宙中最亮的一个天体”，则可以纠正上例的错误。
三、词项的概括
通过减少词项的内涵以扩大词项的外延，由一个外延较小的词项过渡到一个外延较大的词项，即由种词项过渡到属词项的逻辑推演方法，就是词项的概括。例如：
鲁迅先生说过：“有缺点的战士终究是战士，完美的苍蝇也终究是苍蝇。”
由“有缺点的战士”到“战士”，由“完美的苍蝇”到“苍蝇”都是词项的概括。
概括的推演方法也有两种，一种是在被概括的词项前去掉种词项的限制词，例如，“现代中国男性小说家”可以概括为“现代中国小说家”。这里，种词项“现代中国男性小说家”的修饰语“男性”被去掉了，内涵减少了，外延得到了扩大，过渡到了它的属词项“现代中国小说家”。
另一种方法是将表示属词项的词语替换掉种词项的词语，如“教师”概括为“知识分子”。
概括同样可以连续进行，但也有极限，概括的极限是哲学范畴。因为范畴是外延最大的属，没有比它更大的属词项了。比如“物体”概括为“物质”，物质是一个哲学范畴，这时就不能再概括了。
四、限制和概括要避免的逻辑错误
错误的概括和限制，可称为“随意概括”和“不当限制”。
在进行限制和概括的过程中要注意以下两个问题，以避免犯逻辑错误：一是我们可以通过增加或减少修饰语的方法对词项进行限制或概括，但并不是所有的修饰语的增加或减少都是限制或概括，比如把“天安门”加上修饰语变成“雄伟的天安门”，这并不是对词项的限制，而只是单纯的修饰。再比如“能导电的金属”与“金属”、“不必要的浪费”与“浪费”都不构成种属关系，因而前者都不是对后者的限制，后者也不是对前者的概括。
二是要注意区分整体与部分关系和属种关系。由部分到整体或由整体到部分并不是概括和限制，比如“厦门大学哲学系”和“厦门大学”是部分与整体关系而非属种关系，因而不能在二者间进行概括或限制。
总之，通过限制和概括之后形成的词项与原词项应当构成属种关系，如果不是，那么这种限制和概括就是错误的。例如“林黛玉”和“《红楼梦》”这两个词项是全异关系而非属种关系，不能把“《红楼梦》”限制为“林黛玉”。也不能把“巴金”限制为“《家》的作者”，因为这两个词项是全同关系，不是属种关系。
第五节 定义和划分
一、定义
(一) 什么是定义
定义就是以简短的语句或命题形式揭示词项的内涵或外延，使人们明确它的意义及其使用范围的逻辑方法。
无论以什么方式下定义，定义都必须包括被定义项、定义项和定义联项三个部分。例如：“真分数是分子小于分母的分数”；“气压计是用于测量气压的仪器”。被揭示内涵的词项叫做被定义项（如上面的例子“真分数”、“气压计”等），用来下定义的词项叫做定义项（如上面例子中“分子小于分母的分数”、“测量气压的仪器”等）。而表示定义项与被定义项联结关系的是定义联项，例如“是”、“就是”、“是指”和“当且仅当”等，在数学、逻辑中，也用“=df”表示。归结起来，定义的结构大致可以写成下述公式：
Ds就是Dp
这里，Ds代表被定义项, Dp代表定义项，“就是”代表定义联项
（二）下定义的方法
定义的对象可以是某个语词所代表、所指称的事物、对象，也可以仅仅是该语词本身，于是有“真实定义”和“语词定义” ；对一个词项进行真实定义，既可以从内涵角度着手，也可以从外延角度着手，于是有“内涵定义”和“外延定义” 。下面介绍几种主要的定义类型。
1、内涵定义
词项的内涵是词项所表达的概念，概念反映事物的特有属性或本质属性，因此，揭示词项所指事物的特有属性或本质属性或对词项的涵义进行解释的定义，称为内涵定义。常见的内涵定义有：
（1）实质定义。这是最常见的内涵定义形式。实质定义要用精练的语句揭示这个词项所反映的对象的特有属性或本质属性，藉着定义我们可以将不同事物区别开。例如：
柏拉图说：“人是两足无毛独立行走的动物。”
依照这个定义，我们无法把“人”和其他的动物真正地区分开来，因为它没有揭示“人”与其他动物的真正区别，据说柏拉图有一个喜欢恶作剧的学生，把拔光了羽毛的公鸡提到老师跟前问他：“这是不是人呢？”
人是能够制造和使用工具的动物。
以上这个定义就揭示了“人”的特有属性，从而明确了“人”这个词项的内涵，或者说，明确了“人”这个词项所表达的概念，使“人”与其他动物区别开。
实质定义一般采用属加种差的方式给事物下定义，因此也称属加种差定义。在具有属种关系的词项指称的事物中，同一属下面一个种不同于其他种的特有属性即称为种差。例如，“人”这个词项就是以“动物”为属词项的，而人与其他的动物种类的区别就叫做“种差”。下定义最常用的方法，就是找出被定义词项的属词项，然后找出相应的种差，并以“被定义项=种差+属”的形式给出定义。
例如：
人是会语言、能思维、能够制造和使用劳动工具的动物。
哺乳动物就是以分泌乳汁喂养初生后代的脊推动物。
事物具有不同的特有属性，因此用属加种差定义方法时，对同一事物也可以有不同定义。根据种差的不同，可以有：
性质定义。种差是事物现有的属性。
例如：
历史学是研究人类社会发生、发展规律的社会科学。
发生定义。种差是事物形成中的属性。
例如：
以定点为圆心，以定长为半径，环绕一圈形成的图形就叫做圆。
在发生定义中，种差是事物产生的原因的定义，称为因果定义。
例如：
月蚀是地球运行于地球和太阳之间并且三点成一直线所引起的天文现象。
关系定义。种差是事物之间的关系。
例如：
偶数就是能被2整除的自然数。
功用定义。种差是事物的功用。
例如：
气压计是用以测量大气压力的物理仪器。
名词是用来表达事物的语言成分，回答‘谁’，‘什么’等问题。
摹状定义。种差是对事物特征的描述。
例如：
平原即大面积平坦的地表。
（2）条件定义。除了属加种差定义，内涵定义还包括条件定义，即用条件命题（假言命题）作为定义项的内涵定义。条件定义又分为语境定义和操作定义。
语境定义。将被定义项放进一定的语境（上下文）中，用一个与被定义项意义相同的命题（常表现为条件句）来下定义。
例如：
现象x是现象y的原因，当且仅当x的产生或变化必然导致y的产生或变化。
操作定义，定义项包含了对被定义项进行操作过程的内涵定义，也常表现为条件定义。
例如：
一液体是酸性，当且仅当，如果在该液体中倒入甲基橙溶液，该混合液呈红色。
2、外延定义
通过列举一个词项的外延，也能够使人们获得对该词项的某种理解和认识，从而明确该词项的意义和适用范围。因此，外延定义也是一种常用的定义形式。
（1）穷举定义
如果一个词项所指的对像数目很少，或者其种类有限，则可以对它下穷举的外延定义。
例如：
氧族元素是指氧O、硫S、硒Se、碲Te、钋Po五种元素。
有理数和无理数总称“实数”。
（2）例举定义
一个词项的外延对像数目很大，或者种类很多，无法穷尽列举，于是就举出一些例证，以帮助人们获得关于该词项所指称的对像的一些了解。例如：
中国的少数民族有藏族、维吾尔族、蒙古族、回族、壮族、土家族、苗族等。
什么是自然语言？例如汉语、英语、俄语、德语、日语、朝鲜语都是自然语言。
（3）实指定义
用手指着某一个对像，从而教会儿童去认识事物和使用语言，这样的方法常被叫做“实指定义”(ostensive definition )。例如，指着鼻子叫儿童说“鼻子”，摸着耳朵叫孩子说“耳朵”，拍着桌子叫孩子说“桌子”。显然，这只是一种比喻意义上的定义形式，有很多缺陷。
内涵定义和外延定义常常合在一起使用，例如，先给出某个词项的内涵，再列举该词项的一些或全部外延。
例如：
基本粒子是迄今所知、能够以自由状态存在的所有最小物质粒子的统称，包括电子、中子、光子等，它们构成宏观世界的一切实物以及电磁场。
3、语词定义
该种定义方法以语词本身为定义的对象，常常涉及该语词的词源、意义、用法等，而不涉及该语词所代表、指称的事物和对像。可以区分出如下类型：
（1）说明的语词定义。
当别人不了解某一个语词的意义时，我们用说明的方法来解释这个词的意义。
例如：“乌托邦”是一个希腊词，按照希腊文的意思，乌是没有，托邦斯是地方，乌托邦是一个没有的地方，是一种空想、虚构和童话。
伊梅儿指的是英文EMAIL，即电子函件的意思。
（2）规定的语词定义。
有时候为了便于交流，需要发明新词，或者需要使用缩略语，这都要求对该新词或缩略语的意义有所规定。某些学科中往往需要给某些语词（包括引进的符号）规定定义，用以揭示术语的意义或引进符号。
例如：逻辑学规定∧代表合取。再如数学符号＋、－、×、=，物理学的符号m(物体质量)，c（光速）、t（温度）等等都需要用规定的方式做出定义。
（3）修正定义。
其中既有说明性成分，也有约定或规定性成分，在法律、法规等政策性文件中用得比较多。例如，为了便于操作，有关条例对“发明”一词作了如下定义：
本条例所说的发明是一种重大的科学成就，它必须具备以下三个条件：(1)前人没有的，(2)先进的，（3）经实践证明可以应用的。
（三）定义的规则。
一个好的定义，或者说一个可以接受的定义，必须满足一定的条件或标准，遵守一定的规则。这里给出以下几条：
1、定义应当相应相称。
定义项的外延与被定义项的外延必须全同。从这一点来看，一个好的定义应当揭示出被定义对象的区别性特征。违反这条规则的逻辑错误，常见的有如下几种情况：
(1)定义过宽，即定义项的外延大于被定义项的外延，定义项真包含被定义项，结果造成把本来不属于被定义词项外延的对象也包括在该词项的外延之中。
例如：
汽车是适用于街道或公路的自动车辆。
哺乳动物是有肺部并要呼吸空气的脊推动物o
这两个定义都犯有“定义过宽”的错误。根据此定义，摩托车、电动自行车也应归于“汽车”之列；鸟类、爬行动物以及大多数成熟的两栖动物都有肺部并要呼吸空气，并且都是脊推动物，它们似乎也属于哺乳动物。但实际情况并非如此。
(2)定义过窄，即定义项的外延小于被定义项的外延，定义项真包含于被定义项。结果造成把本来属于被定义词项外延的对象排除在该词项的外延之外。
例如：
洋流是海洋水在平面上远距离的流动。
眼是人的视觉器官。
洋流除了水平距离的流动以外还包括垂直距离的流动，而眼睛除了是人的视觉器官以外，还是其他动物的视觉器官。
(3)定义从某些方面讲过宽，从某些方面讲又过窄。即定义项与被定义项的外延之间是交叉关系。这种错误定义中，被定义项从某一方面讲比定义项宽，从另一方面讲，又比定义项窄。
例如：
桌子是放食物的物体。
从一方面讲，桌子也可以用于工作，另一方面讲，用来放食物的不仅是桌子，也可以是床、书桌、课桌和其他的家具。
(4)定义项与被定义项的外延间关系为全异关系。这种情况比较少见，但并不是没有。
例如上述的“商品就是商人的品格”这一定义。
以上逻辑错误都是由于没有揭示被定义对象的区别性特征，造成定义项与被定义项不相应相称。
2、定义中不得直接或间接地包含被定义项。
否则，就会犯“同语反复”或“循环定义”的错误。
（1）同语反复，即定义项直接包含了被定义项。
例如：吱吱作响的门是会发出吱吱声的门。
命运就是命运。
（2）循环定义。定义项间接地包含了被定义项，在用定义项去刻画、说明被定义项时定义项本身又需要或依赖于被定义项来说明。
例如，有人在一篇文章中给出了三个相关的定义：
人是有理性的动物。
理性是人区别于其他动物的高级神经活动。
高级神经活动是人的理性活动。
通过这三个定义，我们既没有明白什么是人，也没有明白什么是理性和什么是高级神经活动，因为它们相互依赖，谁也说明不了谁。
但是，对于有些关系词项的定义，某种程度的循环是允许的，甚至是必不可少的。
例如：什么是父亲和子女?父亲就是有自己的子女的男人，而子女则是由父母生下的后代。
什么是原因和结果?原因就是引起一个现象的现象，而结果则是由一个现象所引起的现象。
3、定义必须清晰明确。
定义不可用含混、隐晦或比喻性词语来表示。否则，就会犯“定义含糊不清”或“用比喻下定义”的错误。
据说有人给出了这样一个定义：
什么是列宁主义?作为革命行动体系的列宁主义，就是由思维和经验养成的革命嗅觉，这种社会领城里的嗅觉，就如同体力劳动中肌肉的感觉一样。
看了或听了这个定义后，一般人都会有如坠五里雾中的感觉，什么也看不清楚，甚至在不看、不听这个定义时还明白一些什么，当看了、听了这个定义之后．反而什么也不明白了。其原因在于该定义使用了许多莫名其妙的词语，例如“由思维和经验养成的革命嗅觉”， “体力劳动中肌肉的感觉”，去刻画作为一种理论体系的列宁主义。
定义一般也不采用比喻的语句形式。
例如：
儿童是祖国的花朵。
建筑是凝固的音乐。
书是人类进步的阶梯。
生活是最生动的河流，最丰富的矿藏。
这些句子作为一般的句子，是好的句子，甚至含有深刻的意义。但作为定义却是糟糕的。因为事物之间既有同一又有差异，几乎任何一个事物都可以比喻为任何一个其他的事物，但要真正明白一个事物、概念是什么，需要正面地去说明、刻画它，而不是形容、比喻它。比喻不能使我们真正认识一个事物，不能弄清楚一个词项的适用范围。
4、定义一般用肯定的语句和正词项。
除非必要，定义不能用否定形式或负词项。
通过定义，我们是要弄明白一个事物本身是什么，而不是它不是什么。因为一个事物除了是它本身之外，它不是世界上其他的一切事物，而这样的事物是列举不完的。
比如：
化合反应不是分解反应。
科学不是迷信。
民主不是独裁。
这些都不是好的定义，因为它们并没有从正面说明被定义词项的内涵。
但是，如果被定义项本身是一个负词项，或者不具有某种属性恰恰是该词项所指称事物的主要特征或本质属性时，就可以使用否定形式进行定义。例如：
无机物是不含碳素的化合物。
虚伪就是不诚实。
奇数就是不能被2整除的自然数。
二、划分
（一）什么是划分
划分就是把一个词项的外延（词项所指事物的集合），按照一定的标准，分为若干小类（真子集）的明确词项外延的逻辑方法。通过划分我们把一个属词项分成若干个种词项，例如“根据计划的广度，计划可以分为战略计划和作业计划”就是一个划分。
划分有三个构成要素：划分母项、划分子项和划分标准（划分根据）。
母项是被划分的词项，通过划分我们揭示其外延，如上例的“计划”。子项是对母项划分后所得到的词项，如上例中的“战略计划”和“作业计划”。
划分标准即对母项进行划分的根据，我们依据某个或某组属性把母项分为若干子项，这个或这组属性就是划分的标准，如上例的划分标准是计划的广度。划分的根据可以是对象的某一方面属性，也可以是另一方面属性，可以是本质属性，也可以是非本质属性，因此，对同一类对象可以有不同的划分标准，从而作出不同的划分。例如，可以把法律按照文字表现形式分为成文法和不成文法，也可以根据法律规定的内容分为实体法和程序法，还可以根据法律的适用范围，分为国际法和国内法。究竟采取什么划分标准，要根据实践需要而定。
经过划分，母项与子项构成属种关系，而子项与子项之间具有矛盾关系或反对关系（不相容的并列关系）。
正确地运用划分的方法，对我们作报告、写作和平常交谈都有好处。
（二）划分的种类
1、划分可以分为一次划分、连续划分和复分。
一次划分就是依据一个标准，把母项分为若干子项。
例如：
三角形（根据边的大小）可分为不等边三角形，等腰三角形和等边三角形。
交通运输可分为陆上交通、水上交通和空中交通。
这种划分只有母项和子项两层。
连续划分就是逐层的多次划分，把划分后的子项作为母项继续划分，直到满足需要为止。
例如：实数可以分为有理数和无理数，有理数可以再分为整数和分数，整数可以分为正整数，零和负整数。
连续划分的母项和子项至少有三层。
复分是指按照不同的标准，把同一母项分为若干子项，例如文学按照体裁分为小说、散文、诗歌和戏剧；按照国别分为外国文学和中国文学；按照时代分为古典文学、近代文学和现代文学等等。
2、对分法（二分法）。
这是一种特殊的常用划分方法，指把被划分的词项（B）分成一对具有矛盾关系的词项A和负A。可表示为：B=A+﹁A。
二分法可以是一次划分，也可以连续进行。
3、分类。这是指以对象的本质属性或显著特征为依据的划分。
(三)划分的规则
掌握划分的规则可用以检查划分是否正确。划分的规则有下面几条：
1、划分应当相应相称，即要求划分后所得出各子项的外延之和必须与母项的外延相等。
例如：
森林=针叶林+阔叶林+混合林
这是正确的划分，子项的外延之和等于母项的外延。如果子项的外延之和大于母项的外延，就会犯“划分过宽”的逻辑错误，这种错误也称为“多出子项”。
例如：
文学作品包括小说、诗歌、散文、音乐、舞蹈、绘画、戏剧。
其中，音乐、舞蹈、绘画并不属于“文学作品”的外延。
如果划分得出的子项外延之和小于母项的外延，就会犯“划分不全”的逻辑错误。这种错误也称“划分过窄”或“遗漏子项”。例如有人设计了一份抽样调查表，关于婚姻状况只设计了“未婚”和“已婚”两个项目。这就犯了“划分不全”的逻辑错误。因为按照这样，结过婚但已丧偶的在这一栏就没法填。正确的做法应将“婚姻状况”设计为“未婚”、“已婚”、“丧偶”和“离婚”。
还有一种违反这一规则的情况，就是有时子项的外延之和与母项的外延之间关系是交叉关系，划分从某些方面来说太宽，从另一些方面来说又太窄。
例如：
文学作品包括小说、诗歌、散文、音乐、舞蹈、绘画。
这个划分既漏掉了真正的子项“戏剧”，又多出了子项“音乐、舞蹈、绘画”。
2、每次划分的标准必须相同。也就是说，每次划分只能有一个标准，必须按照同一标准进行，而不能有两个或两个以上标准。违反这条规则，就会犯“划分标准不同一”的逻辑错误，也称作“混淆划分根据”。
例如：
中国画可分为山水画、人物画、花鸟画、工笔画和写意画。
上例采用了“题材”和“技法”两个划分标准对“中国画”进行—次划分．犯了“划分标准不同一”的错误。
每次划分必须采用同一个标准，但不同层次的划分，标准可以是不同的，例如，根据性别可以把学生分为男学生、女学生，再把男学生分为一年级男生，二年级男生，三年级男生、四年级男生，这并不违反规则。
3、划分的子项应当互相排斥，即，划分得出的子项外延之间关系应当是不相容关系。违反这条规则，就会犯“子项相容”的逻辑错误，出现有的对象既属于这个子项，又属于那个子项的情况，引起混乱。
上面关于中国画的例子就犯了此错误。
4、划分应当按层次进行，不应当跳跃划分。因为属种关系的词项是有层级的，如果混淆层次进行划分，就会犯“越级划分”的错误。
例如：
俄语中有元音、轻辅音和浊辅音。
动物分为哺乳动物，鸟，鱼，爬行动物，两栖动物和非脊椎动物。
它们就不是正确的划分，因为子项是不同层次的词项。正确的说法是：“语音分为元音和辅音，辅音又分为轻辅音和浊辅音。”“动物分为脊椎动物和非脊椎动物，脊椎动物又分为哺乳动物、鸟类、鱼类、爬行动物和两栖动物。”
（四）关于划分应注意的事项
1、 一个错误的划分可能违反不止一条规则。如果划分犯了“混淆根据”的逻辑错误，则包含了“子项相容”的错误。例如上述关于中国画的划分，就是同时违反这两条规则。但是，子项相容的错误划分未必是违反“划分的标准必须同一”这一规则，如：
战争有正义战争、非正义战争和性质不明的战争。
这一划分没有混淆根据，但出现了子项相容的情况，因为“性质不明的战争”与另外两个子项外延之间关系是交叉关系。
2、 划分不同于分解。划分和分解虽然通常都采用“把……分为……”的形式，但二者截然不同，要注意加以区分。对某一词项进行划分，得出的子项与母项之间具有属种关系，子项一定具有母项的属性，如对法律进行划分得出的子项，无论是国际法，还是国内法，是成文法，还是不成文法，是实体法，还是程序法，都具有“法律”的属性。而分解是将一个对象分成若干部分，被分解的对象与其各部分之间关系是整体与部分的关系，部分不具有整体的属性。例如，把“厦门大学”分为“厦门大学法学院”、“厦门大学人文学院”、 “厦门大学医学院”等等，这是分解而不是划分，分解所得的是被分解对象的各部分，部分既不是整体的真子集，也不是整体的分子（元素），因而不具有“厦门大学”作为整体而具有的属性。
第六节 集合和集合的推演
一、关于集合的几个基本概念——集合、元素、子集、空集、全集
一个词项的外延是一类事物，该类中具体的事物是那个类的分子，在现代逻辑中，通常把作为词项的外延的类称为集合，把组成类的分子称为元素。
例如：
世界上最高的山峰。
太阳系的大行星。
中华人民共和国的直辖行政区。
自然数。
这些都是集合。
用A、B、C……表示集合，用a、b、c表示集合的元素。集合A可以记为：
A=﹛a,b,c……﹜.
或者记为A=﹛x,︴x=a,b,c……﹜
a是A的元素，叫做a属于A，用符号“∈”表示，记为a∈A。
a不是A的元素，叫做a不属于A，记为aÏA。
例如，地球属于太阳系的大行星，-1不属于自然数。
如果A、B两个集合，A的每一个元素都是B的元素，那么，A就是B的“子集合”，简称子集，叫做A包含于B，或者说A和B有包含关系，用符号“Í”表示，记为：AÍB。
如果A包含于B，且A不等于B，那么，A是B的真子集，或者说，A与B有真包含关系，记为AÌB。
如果A包含于B，且B也包含于A，那么A与B相等，或者说，A与B具有全同关系，记为A=B。
如果一个集合不包含任何元素，则称之为“空集合”（简称空集），用Ø表示，即Ø={ }。
如果一个集合包含了组成它的一切元素，则称之为“全集合”（简称全集），用I表示 。
二、集合的推演
集合的推演就是集合的运算。即从给定的两个或两个以上集合推演出一个新的集合。它体现了从两个（或两个以上）的词项推导出一个新词项的过程。集合有下面四种推演方式。
1、集合相加的推演（并运算）与词项和。
可以将不同的集合合并在一起。如果我们将两个集合加在一起构成一个新的集合，就是用集合A和集合B的所有元素组成一个新的集合，这个集合即包含了原来两个集合的所有成分，而这些成分又至少属于这些集合中的一个。这种运算称之为并集（简称“并”），或者叫作逻辑和。
集合相加的推演可以在两个或两个以上集合中进行，也就是说，可以将两种、三种、四种乃至更多种类合并在一起。用符号“∪”作为并运算的联结项，两个集合的并运算可记为：A∪B。
例如，设A={1，2，3 }，B={ 3，4，5}
则A∪B={1，2，3，4，5 }
又如，设A={男学生}，B={女学生}，
则A∪B={学生}
（以下A、B、C均表示词项）
对于词项来说，这种运算也称为词项和。比如将哺乳动物和非哺乳动物的集合合并在一起即是动物的集合。奇数与偶数的集合合并在一起即构成整数这一集合。将外国诗人和中国诗人合在一起即是诗人这一集合。如果将词项和的运算表示为：
A + B = C
从内涵上看：C的每个分子，或者具有A的内涵，或者具有B的内涵；
从外延上看：C的外延是A与B的外延之和。
例如：男人+女人=人
2、集合相乘的运算与词项积。
集合相乘的推演又叫作集合的交运算，就是用同时属于集合A和集合B的所有元素构成一个新的集合，称之为“交集”（简称“交”），或叫做逻辑积。用符号“∩”作为交运算的联结项，记为：
A∩B
如前例，设A={1，2，3 }，B={ 3，4，5}，有：A∩B={3 }
又如，设A=哲学系学生，B=大学一年级新生，则A∩B={哲学系一年级新生 }。
再如，A=方形，B=圆形，则A∩B=既是方形又是圆形={ }=Ø
该运算对词项而言，可称词项积。如果将词项积表示为：
A ×B = C
从内涵上看：C的每个分子，既具有A的内涵，又具有B的内涵；
从外延上看：C的外延是A与B外延的共同部分。
例如：中国人×知识分子=中国知识分子
男人×老人= 老头
3、集合相减的运算与词项差。
集合相减的运算又叫做集合的差运算，就是用属于集合A而不属于集合B的所有元素组成一个新的集合，称之为“差集”（简称“差”），或叫做逻辑差。用符号“-”作为差运算的联结项，记为：
A-B
如前例，设A={1，2，3 }，B={ 3，4，5}，有：A-B={1，2 }，B-A={4，5 }
又如，设A=干部，B=党员，有：A-B=非党员的干部，B-A=非干部的党员。
该运算对于词项而言，可称词项差。如果将词项差表示为：
A-B = C
从内涵上看：C的每个分子，具有A的内涵，但不具有B的内涵；
从外延上看：C的外延是从A的外延中除去A与B的积。
例如： 教授－离退休人员=在职教授
4、补集与补词项。
补集是全集与其子集之间的差运算，用属于全集I而不属于其子集A的所有元素构成一个新的集合，这个新集合就是集合A的补集，（简称“补”），记为：
I-A（或-A）
对于词项而言，该运算称为补词项，词项A的补，记为﹁A，读作非A。指论域中除A以外的其他事物。以I表示论域，则
﹁A = I－A。
例如，设I= {自然数}，A={偶数}，有：I-A={奇数}，或﹁A={奇数}。
又如，设：I= 动物，A=哺乳动物，有：I-A=非哺乳动物，或﹁A=非哺乳动物。
例如： 非公理化理论= 理论－公理化理论
三、集合演算的一些基本规律
1、交换律A∪B＝B∪A Ａ∩Ｂ＝Ｂ∩Ａ
2、结合律Ａ∩（Ｂ∩Ｃ）＝（Ａ∩Ｂ）∩Ｃ
3、Ａ∪（Ｂ∪Ｃ）＝（Ａ∪Ｂ）∪Ｃ
4、分配律Ａ∪（Ｂ∩Ｃ）＝（Ａ∪Ｂ）∩（Ａ∪Ｃ）
5、Ａ∩（Ｂ∪Ｃ）＝（Ａ∩Ｂ）∪（Ａ∩Ｃ）
6、德摩根律﹁（A∪B）＝﹁Ａ∩﹁Ｂ
7、﹁（A∩B）＝﹁Ａ∪﹁Ｂ
以上基本规律的证明从略。
一、思考题 ：
（一）什么是词项？它的逻辑特征是什么？它与语词、概念有什么联系与区别？
（二）词项有哪些种类？集合词项与非集合词项有什么分别？
（三）词项的外延间关系有哪几种？词项的矛盾关系与反对关系有什么区别？
（四）什么是词项的概括和限制？如何对一个词项进行概括和限制？
（五）违反定义的规则、违反划分的规则各有哪些逻辑错误？
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[①]任何语词（以及语句）都可以被使用（to be used），也可以被提及（to be mentioned）。在被使用的情况下，用不同语词表达同一概念，可以视为同一词项，例如：“吾妻见字速来”与“老婆见信速来”可视为同一命题。但在被提及时应视为不同的词项，例如，“我知道苹果，可我不知道‘apple’。”在这里，“苹果”是被提及。
